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9.5.10
integrales indefinidas
Material proporcionado por la Lic. Elizabeth Igarza Campos, encargada del curso matematica para economistas de la escuela de Economia de la UNSM
integrales indefinidas
integrales indefinidas
6.5.10
Integrales Impropias
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento de nuestro concepto de área bajo la curva.
es impropia si se presenta uno de los siguientes casos:
1.- a = - o b = a = - y b =
2.- no es acotada en alguno de los puntos de dichos puntos se llaman singularidades de
Existes diversos tipos de integrales impropias las cuales definiremos a continuación:
Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.
Principales definiciones y teoremas
Definición 1 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Análogamente se pueden definir las integrales impropias en .
Definición 2 Sea una función integrable en cualquier intervalo , . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia de segunda especie en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge. Observación: Obviamente ambas definiciones se pueden unificar en una única
Definición 3 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Teorema 1 Criterio de comparación para las integrales impropias. Sean y dos funciones integrables en cualquier intervalo tales que
Entonces si la integral es convergente, la integral también lo es, y si es divergente, entonces también será divergente.
Teorema 2 Criterio de Abel-Dirichlet para las integrales impropias.
Sean y dos funciones integrables en cualquier intervalo y sea una función monótona. Entonces, para que la integral impropia converja es suficiente que se cumplan cualquiera de las dos siguientes pares de condiciones:
a) converja y acotada en , o
b) este acotada para todo y converja a cero cuando .
Algunos ejemplos resueltos:
La integral converge a 1.
La integral converge a
La integral converge a 2.
La integral converge a
Aquí algunos vodeos respecto a nuestro tema:
Definición 1 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Análogamente se pueden definir las integrales impropias en .
Definición 2 Sea una función integrable en cualquier intervalo , . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia de segunda especie en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge. Observación: Obviamente ambas definiciones se pueden unificar en una única
Definición 3 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Teorema 1 Criterio de comparación para las integrales impropias. Sean y dos funciones integrables en cualquier intervalo tales que
Entonces si la integral es convergente, la integral también lo es, y si es divergente, entonces también será divergente.
Teorema 2 Criterio de Abel-Dirichlet para las integrales impropias.
Sean y dos funciones integrables en cualquier intervalo y sea una función monótona. Entonces, para que la integral impropia converja es suficiente que se cumplan cualquiera de las dos siguientes pares de condiciones:
a) converja y acotada en , o
b) este acotada para todo y converja a cero cuando .
Algunos ejemplos resueltos:
La integral converge a 1.
La integral converge a
La integral converge a 2.
La integral converge a
Aquí algunos vodeos respecto a nuestro tema: