21.4.10

Aplicaciones de la integral definida a la Economía

 Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.

Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico.
Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta.
                              
A esta función la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado. 

Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.
                              
A esta función la simbolizamos p = d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda 

SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES
El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores.
El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y = p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.
El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p = d(q) y p = p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:
donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p0 y demanda de equilibrio q0.


Problema

La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2. Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.
Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p = d(20) = 50 - 0,06 202 = 26.
Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:
= = = 320
La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades.
De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el superávit de los productores.
El área total bajo la curva de oferta entre q = 0 y q = q0 es la cantidad mínima total que los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q0 artículos. El área total bajo la recta p = p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral definida.
Si s(q) es una función de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio, entonces superávit de los productores =
Problema

Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x) = . Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos.
Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10) = = 12 pesos.
La ganancia o superávit de los productores se calculo resolviendo:
= =
Ganancia de las productores = = 25
La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez artículos.

Problema

Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas.
Función de demanda: p1 (q) = 1000 - 0,4 q2. Función de oferta: p2 (q) = 42q
El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica:
La oferta coincide con la demanda en (q0, p0) , es decir,:
p1 (q) = p2 (q) Þ 1000 - 0,4q2 = 42q Þ - 0,4q2 - 42q + 1000 = 0 Þ
q1 = - 125 Ù q2 = 20
Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q0 = 20 y, por lo tanto, p0 = 840.
El excedente de demanda o superavit de los consumidores es la región comprendida entre p1 (q)  y  la recta   p = 840, entre 0 y 20, o sea,:
= = = 2133,33
El excedente de demanda asciende a $2133,33
El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p = 840 y p = 42q entre 0 y 20, o sea:
= = (840.20 - 21.202) = 8400
El superavit de oferta alcanza $8400.




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