mayo 2010 ~ Matematica para Economistas

9.5.10

6.5.10

Integrales Impropias

Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento de nuestro concepto de área bajo la curva.

es impropia si se presenta uno de los siguientes casos:

1.- a = -

o b =

a = -

y b =

2.-

no es acotada en alguno de los puntos de Monografias.com

dichos puntos se llaman singularidades de Monografias.com

Existes diversos tipos de integrales impropias las cuales definiremos a continuación:

Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Principales definiciones y teoremas

Definición 1 Sea una función

integrable Riemann en cualquier intervalo $[a,t]\subset[a,b)$ . Si existe el límite
$\begin{displaymath} \lim_{t\to b} \int_a^t f(x) dx = l <\infty \end{displaymath}$
diremos que existe la integral impropia $\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx$ en

que converge a

y escribiremos
$\begin{displaymath} l=\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx=\lim_{t\to b} \int_a^t f(x) dx . \end{displaymath}$
Si no existe el

anterior diremos que la integral impropia $\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx$ diverge.
Análogamente se pueden definir las integrales impropias en $(-\infty,a]$ .

Definición 2 Sea

una función integrable en cualquier intervalo $[a,t]\subset[a,b)$ , $\vert b\vert<+\infty$ . Si existe el límite
$\begin{displaymath} \lim_{t\to b-} \int_a^t f(x) dx = l <\infty \end{displaymath}$
diremos que existe la integral impropia de segunda especie $\displaystyle\int_a^b f(x) dx$ en

que converge a

y escribiremos
$\begin{displaymath} l=\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx=\lim_{t\to b-} \int_a^t f(x) dx . \end{displaymath}$
Si no existe el

anterior diremos que la integral impropia $\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx$ diverge. Observación: Obviamente ambas definiciones se pueden unificar en una única

Definición 3 Sea una función

integrable Riemann en cualquier intervalo $[a,t]\subset[a,b)$ . Si existe el límite
$\begin{displaymath} \lim_{t\to b-} \int_a^b f(x) dx = l <\infty \end{displaymath}$
diremos que existe la integral impropia $\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx$ en

que converge a

y escribiremos
$\begin{displaymath} l=\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx=\lim_{t\to b-} \int_a^t f(x) dx . \end{displaymath}$
Si no existe el

anterior diremos que la integral impropia $\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx$ diverge.

Teorema 1 Criterio de comparación para las integrales impropias. Sean

dos funciones integrables en cualquier intervalo $[a,t]\subset[a,b)$ tales que
$\begin{displaymath} \forall x\in [a,b),\quad \quad 0\leq f(x)\leq g(x). \end{displaymath}$
Entonces si la integral $\displaystyle\int_a^{b} g(x) dx$ es convergente, la integral $\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx$ también lo es, y si $\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx$ es divergente, entonces $\displaystyle\int_a^{b} g(x) dx$ también será divergente.

Teorema 2 Criterio de Abel-Dirichlet para las integrales impropias.
Sean

dos funciones integrables en cualquier intervalo $[a,t]\subset[a,b)$ y sea

una función monótona. Entonces, para que la integral impropia $\displaystyle\int_a^{b} f(x)g(x) dx$ converja es suficiente que se cumplan cualquiera de las dos siguientes pares de condiciones:
a) $\displaystyle\int_a^{b} f(x) dx$ converja y

acotada en