Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento de nuestro concepto de área bajo la curva.
es impropia si se presenta uno de los siguientes casos:
1.- a = - o b = a = - y b =
2.- no es acotada en alguno de los puntos de dichos puntos se llaman singularidades de
Existes diversos tipos de integrales impropias las cuales definiremos a continuación:
Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.
Principales definiciones y teoremas
Definición 1 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Análogamente se pueden definir las integrales impropias en .
Definición 2 Sea una función integrable en cualquier intervalo , . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia de segunda especie en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge. Observación: Obviamente ambas definiciones se pueden unificar en una única
Definición 3 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Teorema 1 Criterio de comparación para las integrales impropias. Sean y dos funciones integrables en cualquier intervalo tales que
Entonces si la integral es convergente, la integral también lo es, y si es divergente, entonces también será divergente.
Teorema 2 Criterio de Abel-Dirichlet para las integrales impropias.
Sean y dos funciones integrables en cualquier intervalo y sea una función monótona. Entonces, para que la integral impropia converja es suficiente que se cumplan cualquiera de las dos siguientes pares de condiciones:
a) converja y acotada en , o
b) este acotada para todo y converja a cero cuando .
Algunos ejemplos resueltos:
La integral converge a 1.
La integral converge a
La integral converge a 2.
La integral converge a
Aquí algunos vodeos respecto a nuestro tema:
Definición 1 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Análogamente se pueden definir las integrales impropias en .
Definición 2 Sea una función integrable en cualquier intervalo , . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia de segunda especie en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge. Observación: Obviamente ambas definiciones se pueden unificar en una única
Definición 3 Sea una función integrable Riemann en cualquier intervalo . Si existe el límite
diremos que existe la integral impropia en que converge a y escribiremos
Si no existe el anterior diremos que la integral impropia diverge.
Teorema 1 Criterio de comparación para las integrales impropias. Sean y dos funciones integrables en cualquier intervalo tales que
Entonces si la integral es convergente, la integral también lo es, y si es divergente, entonces también será divergente.
Teorema 2 Criterio de Abel-Dirichlet para las integrales impropias.
Sean y dos funciones integrables en cualquier intervalo y sea una función monótona. Entonces, para que la integral impropia converja es suficiente que se cumplan cualquiera de las dos siguientes pares de condiciones:
a) converja y acotada en , o
b) este acotada para todo y converja a cero cuando .
Algunos ejemplos resueltos:
La integral converge a 1.
La integral converge a
La integral converge a 2.
La integral converge a
Aquí algunos vodeos respecto a nuestro tema:
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